АБСТРАКТЫ
Преобразование Фурье, римановы поверхности и индефинитные метрики.
Показано, что спектральная теория сингулярных вещественных конечнозонных операторов естественно строится в гильбертовом пространстве с псевдоэрмитовой метрикой. При этом число овалов на спектральной кривой, на которых скаларное произведение отрицательно, оказывается важной характеристикой оператора, позволяя, в частности, оценивать число вещественных полюсов решения. Сингулярные операторы появляются, в частности, при построении непрерывных аналогов базисов Кричевера-Новикова, которые естественно считать базисами Фурье на римановых поверхностях.
Законы сохранения эволюционных систем со связями
Как известно, система уравнений, описывающая эволюцию в m-мерном пространстве, без связей может иметь лишь законы сохранения, записываемые как дифференциальные формы m-й степени с коэффициентами, зависящими от неизвестных функций и их производных, замкнутые на решениях данной системы. В предлагаемом цикле работ показано, что если на систему наложены связи в виде дополнительных дифференциальных уравнений, согласованных с эволюцией, то возможно появление законов сохранения, записываемых как дифференциальные формы степени меньшей чем число пространственных переменных. В частности, показано, что если связи являются условиями нулевой дивергенции, т.е. записываются как система уравнений неразрывности, то объединенная система обязательно обладает законами сохранения степени на единицу меньше числа пространственных переменных, причем число таких законов совпадает с числом наложенных связей. Предварительно дано полное описание законов сохранения и симметрий системы уравнений неразрывности. В качестве примера вычислены законы сохранения второй степени классической системы уравнений Максвелла (здесь число пространственных переменных равно трем). Один из этих законов есть тензор электромагнитного поля, а другой – его дуальный. Также изучались системы уравнений в частных производных, удовлетворяющие нетривиальным дифференциальным тождествам. Показано, что в этом случае также типично наличие законов сохранения низших степеней. Характерный пример – системы с калибровочной симметрией (уравнения Янга-Миллса).
Уравнения электромагнитного взаимодействия
Предложены уравнения релятивистской квантовой механики для электромагнитного взаимодействия двух частиц. Эти уравнения решены для случая, когда одна частица имеет малую массу и движется свободно. Начальные волновые функции частиц сосредоточены в начале координат. Спектр энергии волновой функции другой частицы определяется начальной волновой функцией частицы, которая движется свободно. Выбирая эту начальную волновую функцию можно получить практически любой спектр энергии.
УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ В УПРУГИХ ТРУБАХ, ЗАПОЛНЕННЫХ ЖИДКОСТЬЮ.
Показано, что в заполненной жидкостью упругой мембранной трубе могут существовать два семейства солитонов со скоростями близкими к фундаментальным скоростям дисперсионного соотношения независимо от того покоится жидкость на бесконечности или нет. Показано также, что солитоны, полученные из ``усеченных уравнений'', пренебрегая членами с высшими алгебрическими степенями, ``выживают'' при переходе к полной системе уравнений в том смысле, что полная система уравнений имеет солитонные решения, которые равномерно приближаются солитонными решениями приближенной системы уравнений.
Околорезонансные колебания слоя анизотропной нелинейно упругой среды.
Рассматривались близкие к резонансным колебания слоя несжимаемой слабо анизотропной нелинейно упругой среды, когда одна граница слоя неподвижна, а другая совершает периодические двумерные движения в своей плоскости. Получена система двух уравнений первого порядка, описывающая эволюцию колебаний. Эти уравнения допускают разрывные решения. Найдены условия на разрывах. Рассмотрены два типа задач: когда требуется найти движения границы, необходимые для получения предписанного типа колебаний и когда движения границы заданы, а требуется найти вызванные ими колебания. Найдены условия возникновения разрывных решений.
Новые нелинейные волновые эффекты в газовой детонации
(результаты вычислительного эксперимента)
Квантование универсального пространства Тейхмюллера.
Асимптотическое поведение корреляционных функций квантовых безмассовых интегрируемых моделей.
Одним из методов вычисления корреляционных функций является их разложение в ряд по форм-факторам локальных операторов. Хорошо известно, что в массивных моделях такие разложения позволяют легко вычислить асимптотику корреляторов, поскольку она определяется первыми членами ряда. В безмассовом случае ситуация более сложная, так как уже лидирующий член асимптотики содержит вклады, вообще говоря, от бесконечного числа форм-факторов. Разработанный нами метод позволяет эффективно учесть эти вклады для интегрируемых моделей, допускающих формулировку в рамках алгебраического анзаца Бете. Он также позволяет установить связь между критическими индексами асимптотики и спектром гамильтониана исходной модели.
Разрывные решения и их стационарные структуры в упругих композитах и диэлектриках.
В предположениях малой нелинейности и малой анизотропии свойств диэлектриков получена приближенная система уравнений в частных производных, описывающая эволюцию электромагнитных волн, распространяющихся в одном направлении при наличии эффектов дисперсии и диссипации. Изучена стационарная структура электромагнитных ударных волн и описываемых такими же уравнениями квазипоперечных ударных волн в анизотропных нелинейно упругих средах. Установлено, что стационарная структура и соответствующее множество допустимых разрывов качественно подобны изученным ранее в слабо анизотропных упругих средах при другом виде дисперсии.
Алгебры операторов Лакса и гамильтоновы интегрируемые иерархии.
В совместной работе автора и И.М.Кричевера обнаружено, что операторы Лакса со спектральным параметром на римановой поверхности образуют ассоциативную алгебру, а их ортогональные и симплектические аналоги --- алгебры Ли. В докладе излагаются результаты последовавших за этим работ, где построены иерархии коммутирующих потоков на конечномерных пространствах, заданных алгебрами операторов Лакса и дивизорами с носителем на множестве отмеченных точек римановой поверхности, симплектическая структура, называемая ниже структурой Кричевера-Фонга, доказана гамильтоновость потоков относительно нее и даны выражения для гамильтонианов. Примерами являются системы Хитчина, эллиптическая система Калоджеро-Мозера, все известные автору интегрируемые случаи движения твердого тела. |